Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列．
（Ⅰ）若B=$\frac{π}{6}$，b=1+$\sqrt{3}$，求△ABC的面积；
（Ⅱ）记M=（sinA+sinC）cosB+2$\sqrt{3}{sin^2}$B，求M的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列可得a+c=2b，整体代入余弦定理可得ac的值，代入三角形的面积公式可得；
（Ⅱ）由题意和正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，代入并化简可得M=$2sin（2B-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，由余弦定理可得B的范围，由三角函数值域可得．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中a，b，c依次成等差数列，∴a+c=2b，
∴由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{（a+c）^{2}-{b}^{2}-2ac}{2ac}$=$\frac{（2b）^{2}-{b}^{2}-2ac}{2ac}$=$\frac{3{b}^{2}}{2ac}$-1，
代入数据可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3（1+\sqrt{3}）^{2}}{2ac}$-1，解得ac=6
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•6•\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵a+c=2b，∴由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴M=$（sinA+sinC）cosB+2\sqrt{3}{sin^2}B=2sinBcosB+2\sqrt{3}{sin^2}B=sin2B+\sqrt{3}（1-cos2B）$=$2sin（2B-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，
又$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{{（\frac{a+c}{2}）}^2}}}{2ac}=\frac{{\frac{3}{4}（{a^2}+{c^2}）-\frac{ac}{2}}}{2ac}≥\frac{{\frac{3}{4}•2ac-\frac{ac}{2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{3}＜2B-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
∴M=$2sin（2B-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}∈（0，2\sqrt{3}]$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及整体思想和基本不等式求最值，属中档题．