Question

2．已知点F（0，1）为抛物线x²=2py的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点A、B、C是抛物线上三点且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，可以求出p，即可得到抛物线的方程；
（2）首先设出A，B，C点的坐标，再设出直线AB与y轴交于点D（0，y_D），进一步求出y_D，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件，则答案可求．

解答 解：（1）由题意知$\frac{p}{2}=1$，即p=2，
∴抛物线C的方程为：x²=4y；
（2）令$A（{x_1}，\frac{x_1^2}{4}），B（{x_2}，\frac{x_2^2}{4}），C（{x_3}，\frac{x_3^2}{4}）$，不妨设直线AB与y轴交于点D（0，y_D），
∴$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{D}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{0-{x}_{1}}$即${y}_{D}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$．
又∵且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}=0$，$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}}{3}=1$．
从而x₁+x₂=-x₃，${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12-{{x}_{3}}^{2}$
∴$2{x}_{1}{x}_{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$=$2{{x}_{3}}^{2}-12$，即${x}_{1}{x}_{2}={{x}_{3}}^{2}-6$．
${S_{△ABC}}=3{S_{△ABF}}=3×\frac{1}{2}|{1-{y_D}}||{{x_2}-{x_1}}|$，
$S_{△ABC}^2=\frac{9}{4}{（1+\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）^2}（x_1^2+x_2^2-2{x_1}{x_2}）=\frac{9}{64}{（4+x_3^2-6）^2}（12-x_3^2-2x_3^2+12）$
=$\frac{9}{64}{（x_3^2-2）^2}（24-3x_3^2）=\frac{27}{64}{（x_3^2-2）^2}（8-x_3^2）$．
令$t=x_3^2≥0$，$y=\frac{27}{64}{（t-2）^2}（8-t）$，${y}^{′}=\frac{27}{64}[2（t-2）（8-t）-（t-2）^{2}]$，令y′=0，则t₁=2，t₂=6．
当t∈（0，2）时函数单调递减，当t∈（2，6）时函数单调递增，t∈（6，+∞）时函数单调递减且当t=0时y=$\frac{27}{2}$，当t=6时y=$\frac{27}{2}$，
∴${y}_{max}=\frac{27}{2}$．
${S}_{△ABCmax}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程，考查了利用基本不等式求出最值及最值成立的条件，属于中档题．