Question

17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，过F₂的直线x+y-$\sqrt{3}$=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在点P，使S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知直线方程求得c值，再由“点差法”结合已知得到a²=2b²，结合隐含条件求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）求出过F₁与直线x+y-$\sqrt{3}$=0平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$的点P的坐标，在验证直线x+y-$\sqrt{3}$=0的右上侧椭圆上不存在满足条件的P得答案．

解答 解：（1）由直线x+y-$\sqrt{3}$=0过F₂，取y=0，得x=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式作差可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
化为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{b}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，则$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{{a}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=6，b²=3．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如图，由（1）可得，F₁（$-\sqrt{3}，0$），过F₁且与直线x+y-$\sqrt{3}$=0平行的直线方程为y=-1×（x+$\sqrt{3}$），
即y=-x-$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴椭圆上的两点P（0，-$\sqrt{3}$）、（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）满足S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$；
再设与直线x+y-$\sqrt{3}$=0平行的直线方程为x+y=m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得3x²-4mx+2m²-6=0，
由△=16m²-12（2m²-6）=72-8m²=0，解得m=±3，
当m=3时，直线x+y=3与直线x+y-$\sqrt{3}$=0的距离为$\frac{|3-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
而直线x+y+$\sqrt{3}=0$与直线x+y-$\sqrt{3}$=0的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$，$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{6}$，
∴直线x+y-$\sqrt{3}$=0的右上侧，椭圆上不存在点P，满足S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$．
综上，椭圆上的两点P（0，-$\sqrt{3}$）、（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）满足S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，训练了“点差法”在解中点弦问题中的应用，考查了两平行线间距离公式的应用，是中档题．