Question

17．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=$\frac{1}{2}$x²-f（0）x+f′（1）e^x-1，若g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²+x，则方程g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）-x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）∪{1}
• B． （-∞，1]
• C． （0，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先根据导数的运算法则求出f（x），再求出g（x），根据方程g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）-x=0，转化为$\frac{{x}^{2}}{a}$-x=lnx．利用数形结合的思想即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-f（0）x+f′（1）e^x-1，
∴f（0）=f′（1）e^-1，
∴f′（x）=x-f（0）+f′（1）e^x-1，
∴f′（1）=1-f′（1）e^-1+f′（1）e^1-1，
∴f′（1）=e，
∴f（0）=f′（1）e^-1=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，
∴g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²+x=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x-$\frac{1}{2}$x²+x=e^x，
∵g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）-x=0，
∴g（$\frac{{x}^{2}}{a}$-x）=x=g（lnx），
∴$\frac{{x}^{2}}{a}$-x=lnx．
∴$\frac{{x}^{2}}{a}$=x+lnx，
分别画出y=$\frac{{x}^{2}}{a}$和y=x+lnx的图象，
由图象可知，a=1或a＜0，
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算法则和参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，属于难题．