Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）当时，，f（1）=1

（1）求f（0），f（3）的值；

（2）判断f（x）的单调性并证明；

（3）若f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）令，求解，通过，求解即可得出结论；（2）在上是增函数，通过任取，且，则，且，证明，得到结果；（3）由对任意恒成立，得恒成立，利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可.

（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．

由f（1）=1，得f（2）=f（1）+f（1）=1+1=2，

f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3．

（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，且f（x2-x1）＞0，

所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）

=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，

即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函数．

（3）由f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2对任意x∈R恒成立，

得f（4x-a+6+2x+1）＞f（2）恒成立．

因为f（x）在R上是增函数，所以4x-a+6+2x+1＞2恒成立，

即4x+22x+4＞a恒成立

令g（x）=4x+22x+4=（2x+1）2+3，

因为2x＞0，所以g（x）＞4

故a≤4