Question

如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：
①y=e^x+x；
②y=x²；
③y=3x-sinx；
④f（x）=

ln|x|x≠0 0x=0

．
以上函数是“H函数”的所有序号为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=e^x+x为增函数，满足条件．
②函数y=x²在定义域上不单调．不满足条件．
③y=3x-sinx，y′=3-cosx＞0，函数单调递增，满足条件．
④f（x）=

ln|x|x≠0 0x=0

．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为①③，
故答案为：①③

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．