Question

13．已知向量$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，求证$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$；
（Ⅱ）设$\overrightarrow c$=（0，1），若$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow c$，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）证明$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$即可；
（2）根据向量相等列出方程组，解出α，β．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{2}$，∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=2，即$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=2，
∵$\overrightarrow{a}$²=cos²α+sin²α=1，$\overrightarrow{b}$²=cos²β+sin²β=1，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$
（2）∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0.1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0}\\{sinα+sinβ=1}\end{array}\right.$$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$，①²+②²得cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$．
∵0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π．
∴β-α=$\frac{2π}{3}$，即$β=α+\frac{2π}{3}$，
代入②得sinα+sin（$α+\frac{2π}{3}$）=1，整理得$\frac{1}{2}sinα+\frac{\sqrt{3}}{2}cosα$=1，
即sin（α+$\frac{π}{3}$）=1．
∵0＜α＜π，∴$\frac{π}{3}＜α+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
∴$α+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，∴α=$\frac{π}{6}$，β=α$+\frac{2π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，

点评 本题考查了平面向量的数量积运算、向量的模、同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．