Question

1．设等比数列{a_n}满足a₁+a₃=20，a₂+a₄=10，则a₁a₂a₃..a_n的最大值为2¹⁰．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式可得：a_n．指数运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₃=20，a₂+a₄=10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{2}）=20}\\{{a}_{1}（q+{q}^{3}）=10}\end{array}\right.$，解得a₁=16，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$16×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^5-n．
则a₁a₂a₃..a_n=2^{4+3+…+（5-n）}=${2}^{\frac{n（4+5-n）}{2}}$=${2}^{-\frac{1}{2}（n-\frac{9}{2}）^{2}+\frac{81}{8}}$，
当且仅当n=4或5时，a₁a₂a₃..a_n的最大值为2¹⁰．
故答案为：2¹⁰．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、指数运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．