Question

已知函数= （，

（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（2）若函数与的图像有两个不同的交点，求的取值范围。

（3）设点和（是函数图像上的两点，平行于的切线以为切点，求证.

 

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）构造函数，将图像的交点个数转化为函数的零点个数，通过函数的极值的正负求参数的值；（3）构造函数，利用放缩法合理转化.

规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.

试题解析：(1)记，则的定义域为.

当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

由得，即，

令，；

当时，，则单调递增，且；

当时，，则单调递减，且，

所以在处取到最大值；

故要使与有两个不同的交点，只需.

(3）由已知：，所以

由，故

同理

综上所述得.

考点：1.函数的单调性；2.函数的零点；3.放缩法.