Question

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足

3

a-2bsinA=0．
（1）求角B的大小；
（2）当△ABC的外接圆的面积为4π时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由已知及根据正弦定理可得：

3

sinA-2sinBsinA=0，由sinA≠0，解得sinB=

3

2

，又B为锐角，即可求B．
（2）设△ABC的外接圆的半径为R，由πR²=4π，可求R，进而可求b，由余弦定理可得ac≤12，由三角形面积公式即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）由

3

a-2bsinA=0．根据正弦定理可得：

3

sinA-2sinBsinA=0…3分
因为sinA≠0，所以sinB=

3

2

，又B为锐角，则B=

π

3

…6分
（2）设△ABC的外接圆的半径为R，则πR²=4π，所以R=2，
b=2RsinB=4×

3

2

=2

3

…8分
由余弦定理可得：12=a²+c²-2ac•

1

2

，所以12=a²+c²-ac≥ac，即ac≤12
当且仅当a=c=2

3

时，ac取得最大值…10分
此时S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×12×

3

2

=3

3

…13分

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．