Question

已知函数，函数.
⑴当时，函数的图象与函数的图象有公共点，求实数的最大值；
⑵当时，试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数；
⑶函数的图象能否恒在函数的上方？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）的最大值为，（2）时，无公共点，时，有一个公共点，时，有两个公共点；（3）当或时函数的图象恒在函数的图象的上方.

解析试题分析：（1）当时，由图形可知一次函数与对数函数相切时，取最大值，可以用导数的几何意义完成；（2）要研究两函数的公共点个数，由函数的定义域可知只需考虑情况，当时，令得，则原命题等价于研究直线与函数的图象的公共点的个数，因此利用导数研究函数图象变化情况，易得结论；（3）把问题转化为：在时恒成立问题，要注意对取值情况的讨论.
试题解析：⑴，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时取最大值，设切点横坐标为，，, 即实数的最大值为，⑵，即原题等价于直线与函数的图象的公共点的个数，，在递增且，在递减且，时，无公共点，时，有一个公共点，时，有两个公共点；⑶函数的图象恒在函数的上方；即在时恒成立，①时图象开口向下，即在时不可能恒成立，②时，由⑴可得，时恒成立，时不成立，③时，若则，由⑵可得无最小值，故不可能恒成立，若则，故恒成立，若则，故恒成立，综上，或时，函数的图象恒在函数的图象的上方．
考点：导数的几何意义，用导数分析函数的单调性，最值，恒成立问题，渗透数形结合思想，分类讨论的数学思想