Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，n∈N^*．
（1）证明数列{

1

bn

}为等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明：对任意的n∈N^*，有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．

Answer 1

考点：数学归纳法,等差关系的确定,数列递推式

专题：选作题,不等式

分析：（1）由b_n-b_n+1=b_nb_n+1，确定

1

bn+1

-

1

bn

=1，可得数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时，不等式成立；然后假设当n=k时，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，证明当n=k+1时，不等式成立．

解答： 证明：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾
从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=1，
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

．
（2）用数学归纳法证明：
①当n=1时1+

n

2

=1+

1

2

，S2n=1+

1

2

，

1

2

+n=

1

2

+1，不等式成立；
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，那么当n=k+1时S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≥1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1 2k+1 +…+ 1 2k+1

2k个

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

-S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≤

1

2

+k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜

1

2

+k+

1 2k +…+ 1 2k

2k个

=

1

2

+(k+1)
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N^*，不等式成立．

点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．