Question

【题目】如图，椭圆：的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点，

已知椭圆的焦距为，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线交椭圆于两点，当面积取得最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题（1）由椭圆的焦距为可得，再由两点的距离公式，结合的关系，解得，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于零，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式成立的条件即可得到直线方程.

试题解析：（1）椭圆的焦距为，所以，

由已知，即，

，，

所以，

椭圆方程为

（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去得关于的方程：

由直线与椭圆相交于两点，解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

.

令，则

当且仅当即时，

此时.

所以，所求直线方程为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和三角形面积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.