Question

（满分12分）已知直线l经过直线与 的交点.

（1）点到直线l的距离为1，求l的方程；

（2）求点到直线l的距离的最大值。

 

Answer 1

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意可得直线与 的交点为（2,1），当l的斜率不存在时，方程为，满足题意；当l的斜率存在时，由点斜式方程得，即，由点到直线的距离得故方程为；（2）当l的斜率不存在时，方程为，距离为1；当l的斜率存在时，点A到直线l的距离为

=（k<0）, 当且仅当取等号, 点A到直线l的距离的最大值为 .

试题解析：方法一：（1）联立解得交点， 1（分）

若直线l的斜率不存在，即方程为， 3（分）

此时点A到直线l的距离为1，满足；

若直线l的斜率存在，设方程为，即，

∴，解得，直线方程为； 5（分）

综合得：直线l的方程为或. 6 （分）

（2）若直线l的斜率不存在，即方程为，距离为1 7（分）

点A到直线l的距离为， 8 （分）

显然时，d有最大值，且

当且仅当取等号 10（分）

∴点A到直线l的距离的最大值为 （12分）

方法二：（1）设经过和的交点的直线方程为：

（2分）

（）+（

又因为点（1,0）到 距离为1 （4分）

故或

所以直线方程为或 （6分）

（2）由和得交点B（2，1） （9分）

依题意AB和直线垂直距离最大。又A（1，0）

距离最大值为 （12分）

考点：点到直线的距离及直线方程的求法