Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x$∈[\frac{1}{3}，2]$时，求函数y=f（x-1）+f（x+1）的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由图象知A=2，由周期公式可求得ω，又图象经过点（-1，0），可求得φ，即可得解函数解析式；
（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可求函数y=f（x-1）+f（x+1）=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由图象知A=2，$\frac{T}{4}$=2，…（1分）
∴T=8=$\frac{2π}{ω}$，
∴得ω=$\frac{π}{4}$．…（3分）
又图象经过点（-1，0），
∴2sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=0．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴由-$\frac{π}{4}$+φ=0，得φ=$\frac{π}{4}$，故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．…（6分）
（2）y=f（x-1）+f（x+1）
=2sin[$\frac{π}{4}$（x-1）x+$\frac{π}{4}$]+2sin[$\frac{π}{4}$（x+1）+$\frac{π}{4}$]
=2sin$\frac{π}{4}$x+2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{2}$）
=2sin$\frac{π}{4}$x+2cos$\frac{π}{4}$x
=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），…（9分）
∵令g（x）=2$\sqrt{2}$sint，当x$∈[\frac{1}{3}，2]$时，t∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当t=$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，可得：x=1时，f（x）_max=2$\sqrt{2}$，…（10分）
当t=$\frac{3π}{4}$时，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，可得：x=2时，f（x）_min=2…（12分）

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．