练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设双曲线Γ的方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    ，斜率为k的直线l过双曲线Γ的右焦点且交双曲线Γ于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率为k1，k2．
    （1）若双曲线Γ的一条渐近线的倾斜角为60°，顶点到渐近线的距离为
    		3
    2
    ，求双曲线Γ的方程；
    （2）在（1）中双曲线Γ的方程的条件下，求k1•k2的值（计算的结果用k表示）；
    （3）若点M为双曲线Γ上的一点，且存在锐角θ使得
    OM
    =cosθ•
    OA
    +sinθ•
    OB
    ，问此时k1•k2是否可能为定值？并说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由题意列方程组
    b
    a
    =tan60°
    ab
    		a2+b2
    =
    		3
    2
    c2=a2+b2
    ，从而求出双曲线的方程；
    （2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），与x2-
    y2
    3
    =1联立消y可得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，利用韦达定理简化运算；
    （3）设A（xA，yA），B（xB，yB），则
    x
    2
    A
    a2
    -
    y
    2
    A
    b
    2
     
    =1，
    x
    2
    B
    a2
    -
    y
    2
    B
    b2
    =1；又设M（x，y），
    x=xAcosθ+xBsinθ
    y=yAcosθ+yBsinθ
    ，代入双曲线方程化简求解．
    解答： 解：（1）由题意得，
    b
    a
    =tan60°
    ab
    		a2+b2
    =
    		3
    2
    c2=a2+b2
    ，
    解得，a2=1，b2=3，
    故双曲线的方程为x2-
    y2
    3
    =1；
    （2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2）；
    与x2-
    y2
    3
    =1联立消y可得，
    （3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
    故3-k2≠0，且△=16（k2）2+4（3-k2）（4k2+3）＞0，
    k≠±
    		3
    ，
    由韦达定理可得，
    xA+xB=
    -4k2
    3-k2
    ，xAxB=
    -4k2-3
    3-k2
    ，
    yAyB=k2[xAxB-2（xA+xB）+4]
    =k2[
    -4k2-3
    3-k2
    -2
    -4k2
    3-k2
    +4]，
    =
    9k2
    3-k2
    ，
    则k1•k2=
    yAyB
    xAxB
    =
    9k2
    3-k2
    ÷
    -4k2-3
    3-k2

    =
    9k2
    -4k2-3
    ，（k≠±
    		3
    ）；
    （3）设A（xA，yA），B（xB，yB），
    则
    x
    2
    A
    a2
    -
    y
    2
    A
    b
    2
     
    =1，
    x
    2
    B
    a2
    -
    y
    2
    B
    b2
    =1；
    又设M（x，y），
    则由
    OM
    =cosθ•
    OA
    +sinθ•
    OB
    得，
    x=xAcosθ+xBsinθ
    y=yAcosθ+yBsinθ
    ，
    则
    (xAcosθ+xBsinθ)2
    a2
    -
    (yAcosθ+yBsinθ)2
    b2
    =1，
    整理得，
    （
    x
    2
    A
    a2
    -
    y
    2
    A
    b
    2
     
    ）cos2θ+（
    x
    2
    B
    a2
    -
    y
    2
    B
    b2
    ）sin2θ+2（
    xAxB
    a2
    -
    yAyB
    b2
    ）sinθcosθ=1，
    则cos2θ+sin2θ+2（
    xAxB
    a2
    -
    yAyB
    b2
    ）sinθcosθ=1，
    则2（
    xAxB
    a2
    -
    yAyB
    b2
    ）sinθcosθ=0，
    ∵θ是锐角，∴sinθcosθ≠0，
    ∴
    xAxB
    a2
    -
    yAyB
    b2
    =0，
    ∴k1•k2=
    yAyB
    xAxB
    =
    b2
    a2
    ；为定值．
    点评：本题考查了双曲线与直线的位置关系的应用，化简很困难，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a＞0，a≠1，若loga（2x+1）＜loga4，求x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    y=
    		x-4
    x-5
    的定义域为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    化简：
    sin2α
    1+tan2α
    -
    cos2α
    1+cot2α
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆锥的高和底面半径均为1，若过圆锥两条母线的截面为正三角形，求底面圆心到该截面的距离．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角为（　　）
    A、30°B、150°
    C、30°或150°D、以上均错

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知
    OB
    =2m
    OA
    +m
    OC
    ，且
    AP
    =λ
    AC
    (m，λ∈R)    ，则实数λ的值为．（　　）
    A、
    1
    3
    B、
    2
    3
    C、
    1
    2
    D、
    3
    4

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，已知AB=6，B=60°，cos（B+C）=-
    2
    		7
    7
    ，若D为△ABC外接圆劣弧
    A
    C
    上的动点．
    （1）求sinC；
    （2）求△ACD的面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案