Question

3．已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若对于任意的自然数n，都有$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n-3}{4n-3}$，则$\frac{{{a_3}+{a_{15}}}}{{2（{{b_3}+{b_9}}）}}$+$\frac{a_3}{{{b_2}+{b_{10}}}}$=（　　）

• A． $\frac{19}{41}$
• B． $\frac{17}{37}$
• C． $\frac{7}{15}$
• D． $\frac{20}{41}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式性质可得：$\frac{{{a_3}+{a_{15}}}}{{2（{{b_3}+{b_9}}）}}$=$\frac{2{a}_{9}}{2（{b}_{3}+{b}_{9}）}$，可得$\frac{{{a_3}+{a_{15}}}}{{2（{{b_3}+{b_9}}）}}$+$\frac{a_3}{{{b_2}+{b_{10}}}}$=$\frac{{a}_{9}}{{b}_{1}+{b}_{11}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{1}+{b}_{11}}$，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．

解答 解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q；
等差数列的前n项和为：S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$．
∴$\frac{{{a_3}+{a_{15}}}}{{2（{{b_3}+{b_9}}）}}$=$\frac{2{a}_{9}}{2（{b}_{3}+{b}_{9}）}$=$\frac{{a}_{9}}{{b}_{3}+{b}_{9}}$
∴$\frac{{{a_3}+{a_{15}}}}{{2（{{b_3}+{b_9}}）}}$+$\frac{a_3}{{{b_2}+{b_{10}}}}$
=$\frac{{a}_{9}}{{b}_{3}+{b}_{9}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{2}+{b}_{10}}$=$\frac{{a}_{9}}{{b}_{1}+{b}_{11}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{1}+{b}_{11}}$
=$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{{b}_{1}+{b}_{11}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{{b}_{1}+{b}_{11}}$=$\frac{\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}}{\frac{11（{b}_{1}+{b}_{11}）}{2}}$
=$\frac{{S}_{11}}{{T}_{11}}$=$\frac{2×11-3}{4×11-3}$
=$\frac{19}{41}$
故选：A．

点评 本题考查等差数列的通项公式及其性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．