Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+a，a∈R．若对于区间[0，

π

2

]上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由题意可得0≤cosx≤1，f（x）=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+a+1，分①当

a

2

＜0、②当0≤

a

2

≤2、③当

a

2

＞2三种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：函数f（x）=1-cos²x+acosx+a=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+a+1，a∈R．
对于区间[0，

π

2

]上的任意一个x，都有0≤cosx≤1，
再由f（x）≤1成立，可得f（x）的最大值小于或等于1．
分以下情形讨论：
①当

a

2

＜0，则cosx=0时函数f（x）取得最大值为a+1，再由a+1≤1解得a≤0，
综上可得，a＜0．
②当0≤

a

2

≤2，则cosx=

a

2

时函数f（x）取得最大值为

a2

4

+a+1，
再由

a2

4

+a+1≤1，求得-4≤a≤0．
综上可得，a=0．
③当

a

2

＞2，则cosx=1时函数f（x）取得最大值为2a，再由2a≤1得a≤

1

2

．
综上可得，a无解．
综合①②③可得，a的范围为（-∞，0]，
故答案为：（-∞，0]．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．