Question

已知函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）设函数，若方程G（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导函数，由条件，g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0，可建立方程，从而可求g（x）的解析式；
（2）确定函数的定义域，再求导函数，利用导数大于0，得到函数的单调增区间，利用导数小于0，得到函数的单调减区间；
（3）分类讨论，当x＞0时，，g（x）在（0，+∞）上有极小值，即最小值为．当x≤0时，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），令f′（x）=0，得x=-1，再对a进行讨论，结合函数的图象，就可求出满足条件的实数a的取值范围．
解答：解：（1）先求导函数，
由条件，g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
∴，即，
∴，
∴．
（2）由，其定义域为（0，+∞），，
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，则x＞1，即F（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等价于（x-1）（-3ax-1）＜0，
当，则（x-1）²＜0，无解，即F（x）无单调增区间，
当，则，即F（x）的单调递增区间为，
当，则，即F（x）的单调递增区间为．
（3）
当x＞0时，，，
令g′（x）=0，得x=1，且当x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值，即最小值为．          
当x≤0时，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1，
①若a=0，方程G（x）=a²不可能有四个解；-----------------------------（12分）
②若a＜0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＜0，当x∈（-1，0），f′（x）＞0，

∴f（x）在（-∞，0]上有极小值，即最小值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，∴G（x）的图象如图1所示，
从图象可以看出方程G（x）=a²不可能有四个解．----------（14分）
③若a＞0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，当x∈（-1，0），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上有极大值，即最大值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，
∴G（x）的图象如图2所示，
从图象可以看出方程G（x）=a²若有四个解，
必须，
∴．
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，同时考查分类讨论、数形结合的数学思想，综合性强．