Question

已知各项均为正数的数列满足，， .
（Ⅰ）求证：数列是等比数列； 
（Ⅱ）当取何值时，取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）见解析
（II）当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．
（III）实数的取值范围是

（I）∵，，，
∴． 即．
又，所以．
∵，
∴是以为首项，公比为的等比数列．
（II）由（I）可知 （）．
∴．
．
当n=7时，，；
当n<7时，，；
当n>7时，，．
∴
当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．
（III）由，得      （*）
依题意（*）式对任意恒成立，
当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．
②当t<0时，由，可知（）．
而当m是偶数时，因此t<0不合题意．
③当t>0时，由（）,
∴   ∴． （）
设    （）
∵ =,
∴．∴的最大值为．
所以实数的取值范围是．