Question

14．在△ABC中，$BC=2\sqrt{2}$，AC=2，且$cos（{A+B}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求AB的长度； 
（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$相邻交点间的最小距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式求得cosC，可得C的值，咋利用余弦定理求得AB的长度．
（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+C），求得x₁、x₂的值，可得|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosC=cos[{π-（{A+B}）}]=-cos（{A+B}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴C=45°．
∵$BC=2\sqrt{2}$，AC=2，∴$A{B^2}=A{C^2}+B{C^2}-2AC•BCcosC={（2\sqrt{2}）^2}+{2^2}-8\sqrt{2}cos{45^0}$=4，∴AB=2．
（Ⅱ）由$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得 $2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{3}$或$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
解得${x_1}={k_1}π+\frac{π}{24}$，或${x_2}={k_2}π+\frac{5π}{24}$，k₁，k₂∈Z．
因为 $|{{x_1}-{x_2}}|=|{（{k_1}-{k_2}）π+\frac{π}{6}}|≥\frac{π}{6}$，当k₁=k₂时取等号，
所以 当$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，相邻两交点间最小的距离为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查诱导公式，余弦定理，正弦函数的图象特征，属于基础题．