Question

（1）已知f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

，求f（x）的解析式；
（2）已知f（

2

x

+1）=lg x，求f（x）的解析式；
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）的解析式；
（4）定义在（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）应用配方法，求出f（x）的解析式，要注意f（x）的定义域是什么；
（2）应用换元法，设

2

x

+1=t，求出x，代入函数解析式，求出f（x）的解析式；
（3）应用待定系数法，由f（x）是一次函数，设出f（x）的解析式，求出系数，即得f（x）的解析式；
（4）应用方程组，以-x代x，列出方程组，求出f（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2，
∴f（x）=x²-2，且x≥2或x≤-2，
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-2（其中x≥2或x≤-2）；
（2）设

2

x

+1=t，则x=

2

t-1

，代入函数解析式，
得f（t）=lg 

2

t-1

，
又∵x＞0，所以t＞1；
∴f（x）的解析式是f（x）=lg 

2

x-1

（其中x＞1）；
（3）∵f（x）是一次函数，设f（x）=ax+b（其中a≠0），
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
即ax+（5a+b）=2x+17，
∴应有

a=2 5a+b=17

，
解得

a=2 b=7.

；
∴f（x）的解析式是f（x）=2x+7；
（4）当x∈（-1，1）时，2f（x）-f（-x）=lg（x+1）①，
以-x代x有：2f（-x）-f（x）=lg（-x+1）②；
由①、②联立，消去f（-x），得
f（x）=

2

3

lg（x+1）+

1

3

lg（1-x），x∈（-1，1）；
∴f（x）的解析式是f（x）=

2

3

lg（x+1）+

1

3

lg（1-x），x∈（-1，1）．

点评：本题考查了几种求函数解析式的应用问题，解题时应根据函数的特征，选出适当地方法进行求解，是基础题．