Question

3．函数x²+y²=2，则3x+4y的最大值是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令z=3x+4y，可得直线的截距式方程，求出在y轴上的截距，当直线和圆x²+y²=2相切时，截距取得最值，z取得最值．根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出z的值，从而得到z的最大值．

解答 解：令z=3x+4y，即y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$，故直线y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$在y轴上的截距为$\frac{z}{4}$，
故当直线y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$在y轴上的截距最大时，z最大．
根据题意可得，当直线和圆x²+y²=2相切时，$\frac{z}{4}$取得最值．
由$\sqrt{2}$=$\frac{|0+0-z|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$可得z=±5$\sqrt{2}$，故z的最大值为5$\sqrt{2}$．
故答案为：$5\sqrt{2}$

点评 本题主要考查简单的线性规划问题，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．