Question

如图，互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等．设OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，则a₉=（　　）

• A、

  19

• B、

  22

• C、5
• D、2

  7

Answer 1

考点：平行线分线段成比例定理

专题：立体几何

分析：本题可以根据所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等．然后利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方，得出一系列的等式，然后利用累乘法求得通项，进一步求得结果．

解答： 解：依题意：互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上．
则令s△OA1B1=m（m＞0）
∵所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等．
∴利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方
若a₁=1，a₂=2，则令s△OA1B1=m（m＞0）
∴s梯形A1B1A2B2=3m
∴当n≥2时  

an

an-1

=

OAn

OAn-1

=

m+(n-1)•3m m+(n-2)•3m

=

3n-2 3n-5

故

a

2 n

=

3n-2 3n-5 a

2 n-1

a

2 n-1

=

3n-5

3n-8

a

2 n-2

…

a

2 2

=

4 1 a

2 1

以上各式累乘可得：

a

2 n

=(3n-2

)a

2 1

   由于a₁=1
∴an=

3n-2

∴a₉=5
故选：C

点评：本题应用知识较多：平行线分线段成比例定理，相似三角形面积比等于相似比的平方，数列通项中的累乘法，