Question

【题目】在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l经过点M．

(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：

(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直线方程为y=﹣x+3，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）

【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标的互化公式得到直线方程为y=﹣x+3，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）由图像的到圆上的点到直线L的距离最大值为，再计算弦长即三角形的底边长，进而得到面积。

解析：

（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，

∴x=3cos=0，y=3sin=3，

∴点M的直角坐标为（0，3），

∴直线方程为y=﹣x+3，

由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，

∴圆上的点到直线L的距离最大值为，

而弦

∴△PAB面积的最大值为。