Question

17．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，面积为10$\sqrt{3}$cm²，周长为20cm，求△ABC的三边长．

Answer 1

分析 根据△ABC的三个内角成等差数列求出角B的值，再根据△ABC的面积与周长，利用余弦定理，即可求出△ABC的三边长．

解答 解：△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
所以$\left\{\begin{array}{l}{A+B+C=π}\\{A+C=2B}\end{array}\right.$，
解得B=$\frac{π}{3}$；
又△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=10$\sqrt{3}$，
所以ac=40①；
又△ABC的周长为l=a+b+c=20②，
根据余弦定理得
b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac=（20-b）²-3×40，
解得b=7，
代入②中，联立①，
解得a=5，c=8或a=8，c=5；
所以△ABC的三边长分别为5cm、7cm、8cm．

点评 本题考查了三角形的周长与面积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．