Question

9．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（x≠0），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若f′（1）=9，f（x）的图象过点（2，7），求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a＞2时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值，将点（2，7）代入函数表达式，求出b的值，从而求出函数的解析式即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$，f'（1）=1-a=9，∴a=-8，
∵f（x）图象过点（2，7），
∴$2+\frac{a}{2}+b=2-4+b=7$，
∴b=9，f（x）解析式为$f（x）=x-\frac{8}{x}+9$．-------（4分）
（Ⅱ） $f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$
当a≤0时，显然f′（x）＞0（x≠0），
这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）内是增函数；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=±$\sqrt{a}$，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-$\sqrt{a}$）	-$\sqrt{a}$	（-$\sqrt{a}$，0）	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在区间（-∞，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数，在区间（-$\sqrt{a}$，0），$（0，\sqrt{a}]$上是减函数．----------------（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＞0时，f（x）在（0，$\sqrt{a}$）内是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）内是增函数，
若$\sqrt{a}＜2$即2＜a＜4时，f（x）在$[1，\sqrt{a}]$内是减函数，在$[\sqrt{a}，2]$内是增函数，
f（x）最大值为f（1），f（2）的中较大者，
$f（1）-f（2）=1+a+b-2-\frac{a}{2}-b=\frac{a}{2}-1$＞0，
∴当2＜a＜4时，f（x）_max=f（1）=1+a+b，
若$\sqrt{a}≥2$即a≥4时，f（x）在[1，2]上递减，
f（x）_max=f（1）=1+a+b，
综上，a＞2时，f（x）在区间[1，2]上的最大值f（x）_max=f（1）=1+a+b．------（12分）

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．