Question

2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a-c）²=b²-ac．
（1）求B的大小；
（2）若b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由已知变形利用余弦定理即可得出．
（II）b=2，$cosB=\frac{1}{2}$，由余弦定理得b²=4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac．又sinA、sinB、sinC的值成等差数列，可得SinA+SinC=2 SinB，由正弦定理得a+c=2b=4，进而得出三角形面积．

解答 解：（Ⅰ）由（a-c）²=b²-ac，可得a²+c²-b²=ac…（2分）
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$…（4分）
∵B∈（0，π）∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）∵b=2，$cosB=\frac{1}{2}$，∴由余弦定理得b²=4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac…（8分）
又∵sinA、sinB、sinC的值成等差数列，∴SinA+SinC=2 SinB
由正弦定理得a+c=2b=4，∴4=16-3ac，解得ac=4．…（10分）
由$cosB=\frac{1}{2}$，得${Sin}B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．