Question

13．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；
②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；
问选择哪种方案盈利更多？

Answer 1

分析 （1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，付出投资81万元，由此可知利润y=30n-（81+n²），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．
（2）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，即可得出结论．

解答 解：（1）设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
因此利润y=30n-（81+n²），令y＞0，
解得：3＜n＜27，
所以从第4年开始获取纯利润．
（2）纯利润y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144，
所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．
年平均利润W=$\frac{30n-（81+{n}^{2}）}{n}$=30-$\frac{81}{n}$-n≤30-2$\sqrt{81}$=12（当且仅当$\frac{81}{n}$=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+50=158（万元）．
∵154＜158，方案②时间比较短，所以选择方案②．

点评 本题考查数列的性质和应用，同时考查了利基本不等式求函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答．