Question

已知函数f（x）=a•2^x-b•3^x，其中常数a，b满足ab≠0．
（1）若ab＜0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．

Answer 1

解：（1）由ab＜0，得a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．
∵函数y=2^x和y=3^x是实数集上的增函数，
∴当a＞0，b＜0时，函数y=a•2^x为增函数，y=-b•3^x也为增函数，
则函数f（x）=a•2^x-b•3^x是实数集上的增函数；
当a＜0，b＞0时，函数y=a•2^x为减函数，y=-b•3^x也为减函数，
则函数f（x）=a•2^x-b•3^x是实数集上的减函数；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b），得：a＞0，b＞0，2a＞3b．
且lnab=ln（2a-3b）²，∴ab=（2a-3b）²，即4a²-13ab+9b²=0．
∴（a-b）（4a-9b）=0，解得：a=b，或4a=9b．
∵a＞0，b＞0，2a＞3b，∴a=b不符合，则4a=9b，∴．
由f（x+1）-f（x）＞0，得：a•2^x+1-b•3^x+1-a•2^x+b•3^x=a•2^x-2b•3^x＞0．
把代入上式得：，
又b＞0，∴，即，解得：．
所以，f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围是．
分析：（1）由ab＜0，说明a，b异号，根据指数函数在底数大于1时为增函数可得y=a•2^x和y=-b•3^x的单调性，然后由在相同区间内增函数的和为增函数，减函数的和为减函数可得函数f（x）的单调性；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b）得到a和b的关系式，把f（x）和f（x+1）代入不等式f（x+1）-f（x）＞0，整理后由a和b的关系式消掉a，b，然后求解指数不等式即可得到f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．
点评：本题考查了函数单调性得判断与证明，考查了对数式的性质，考查了指数不等式得求解方法，解答此题的关键是由已知的等式找出a，b的关系式，是中档题．