Question

11．函数f（x）=log_a（x-3a）与函数$g（x）={log_a}\frac{1}{x-a}$（a＞0，且a≠1）在给定区间[a+2，a+3]上有意义．
（1）求a的取值范围；
（2）若在给定区间[a+2，a+3]上恒有|f（x）-g（x）|≤1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）与g（x）有意义，则有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，由此能求出a的取值范围．
（2）在给定区间[a+2，a+3]上恒有|f（x）-g（x）|≤1，等价于|log_a（x-3a）（x-a）|≤1，即a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

解答 解：（1）要使f（x）与g（x）有意义，则有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，
要使f（x）与g（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞3a}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，
所以0＜a＜1．
（2）在给定区间[a+2，a+3]上恒有|f（x）-g（x）|≤1，等价于|log_a（x-3a）（x-a）|≤1，
即a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
设h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（a+2）}\\{\frac{1}{a}≥h（a+3）}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤4-4a}\\{\frac{1}{a}≥9-6a}\end{array}\right.$，∴0＜a≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$．

点评 本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．