Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}+a}}$（a、b为常数），且f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ） 函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义，即可得证；
（Ⅲ）f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立，即为2^x-1＜m•4^x，运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数的值域，可得右边的最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$f（1）=\frac{2+b}{2+a}=\frac{1}{3}$，$f（0）=\frac{1+b}{1+a}=0$，
解得a=1，b=-1，
所以$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$；
（Ⅱ） 函数f（x）为奇函数．
证明如下：f（x）的定义域为R，
∵$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
∴函数f（x）为奇函数；                           
（Ⅲ）∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，∴$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}•（{{2^x}+1}）＜m•{4^x}$，
∴2^x-1＜m•4^x
∴$m＞\frac{{{2^x}-1}}{4^x}={（\frac{1}{2}）^x}-{（\frac{1}{4}）^x}$=g（x），
故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立等价于m＞g（x）_max
令$t={（\frac{1}{2}）^x}$，则y=t-t²$（\frac{1}{4}＜t＜1）$，
则当$t=\frac{1}{2}$时${y_{max}}=\frac{1}{2}-{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，
故$m＞\frac{1}{4}$，
即m的取值范围为$（\frac{1}{4}，+∞）$．

点评 本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，抽象概括能力，考查化归的思想．