Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}$，若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），则$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （-2，-1）
• C． （-∞，0）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 利用导数法，分析函数的单调性及极值，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），进而可得：-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，故$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{\frac{2}{e}}{{x}_{1}}$∈（-1，0）．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}$，
∴函数f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x＜0\\ \frac{1-x}{{e}^{x}}，x≥0\end{array}\right.$，
故当x＜0时，函数为增函数，且f（x）＜$\frac{2}{e}$，
当0≤x＜1时，函数为增函数，且0≤f（x）＜$\frac{1}{e}$，
当x≥1时，函数为减函数，且0＜f（x）≤$\frac{1}{e}$，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），
则f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），
即-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，
故$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{\frac{2}{e}}{{x}_{1}}$∈（-1，0），
故选：A

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，利用导数法研究函数的单调性，利用导数法研究函数的极值，难度中档．