Question

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²＝4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y＝2x＋m与抛物线C₂只有一个公共点．

(1)求直线l的方程；

(2)若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

 

Answer 1

解　(1)由消去y，得x²－8x－4m＝0，

∵直线l与抛物线C₂只有一个公共点，

∴Δ＝8²＋4×4m＝0，解得m＝－4.

∴直线l的方程为y＝2x－4.

(2)∵抛物线C₂的焦点为F₁(0,1)，依题意知椭圆C₁的两个焦点的坐标为F₁(0,1)，F₂(0，－1)

设椭圆C₁的方程为＋＝1(a>1)，

由消去y，得(5a²－4)x²－16(a²－1)x＋(a²－1)(16－a²)＝0.(*)

由Δ＝16²(a²－1)²－4(5a²－4)(a²－1)(16－a²)≥0，得a⁴－4a²≥0(a²>0且a²－1>0)，解得a²≥4.∵a>1，∴a≥2，∴e＝≤.

当a＝2时，e_max＝，此时椭圆C₁的方程为＋＝1.

把a＝2代入方程(*)，解得x＝.

又y＝2x－4，∴y＝－1，

∴点P的坐标为.