Question

已知函数f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

，将函数f（x）的图象整体向右平移

π

6

个单位，所得图象对应的函数记为g（x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[

π

6

，

π

3

]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简函数f（x）为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用函数图象的平移得到函数g（x）的解析式．
（1）直接由周期公式求函数f（x）的周期，利用复合函数的单调性的求法求函数f（x）的单调增区间；
（2）直接由x的范围求得2x的范围，进一步求得函数g（x）的值域．

解答： 解：∵f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

(2cos2x-1)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴函数f（x）的图象整体向右平移

π

6

个单位，所得图象对应的函数：
g（x）=f（x-

π

6

）=2sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=2sin2x．
（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[

π

6

，

π

3

]时，2x∈[

π

3

，

2π

3

]，

3

≤2sin2x≤2．
∴函数g（x）的值域为[

3

，2]．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型的周期与单调性的求法，训练了利用角的范围求三角函数值的范围，是中档题．