Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量，x∈R．

a

=（sin2x，

3

），

b

=（-1，sin（2x-

π

6

））
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象沿x轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数g（x）的图象关于y轴对称？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积的坐标运算可求得f（x）=sin（2x-

π

3

），从而可求得f（x）的最小值及f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）依题意知，g（x）=sin（2x-2φ-

π

3

），利用2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，可求得φ=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），又φ＞0，从而可得φ_min．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=-sin2x+

3

sin（2x-

π

6

）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）．…..（4分）
∴函数f（x）的最小值为-1，此时2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，解得x=kπ-

π

12

（k∈Z），
∴使f（x）取得最小值的x的集合为{x|x=kπ-

π

12

（k∈Z）}．…..（7分）
（Ⅱ）由条件可得g（x）=sin（2x-2φ-

π

3

），∵其图象关于y轴对称，
∴2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），又φ＞0，
∴当k=0时，φ取得最小值

π

12

，
于是至少向右平移

π

12

个单位长度，才能使得到的函数g（x）的图象关于y轴对称．…..（12分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，考查平面向量的数量积的坐标运算，属于中档题．