Question

已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量

OM

=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量

OM

的伴随函数．
（Ⅰ）设函数g（x）=sin（

π

2

+x）+2cos（

π

2

-x），试求g（x）的伴随向量

OM

的模；
（Ⅱ）记

ON

=（1，

3

）的伴随函数为h（x），求使得关于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简函数g（x），结合已知的新定义求得伴随向量

OM

的坐标，再由模的计算公式求模；
（Ⅱ）根据给出的

ON

=（1，

3

），求得其伴随函数h（x），由给出的x的范围求得h（x）的值域，再结合函数的单调性求使得关于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)=sin(

π

2

+x)+2cos(

π

2

-x)=2sinx+cosx，
∴

OM

=(2，1)． 
故|

OM

|=

22+12

=

5

；
（Ⅱ）∵

ON

=（1，

3

），
∴

ON

=（1，

3

）的伴随函数h(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

5π

6

，
故h（x）∈[1，2]．
∵当x∈[0，

π

6

]时，函数h（x）单调递增，且h(x)∈[

3

，2]；
当x∈(

π

6

，

π

2

]时，函数h（x）单调递减，且h（x）∈[1，2）．
∴使得关于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为t∈[

3

，2)．

点评：本题考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的诱导公式，训练了利用三角函数的单调性求函数的值域，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．