Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=2，S_n+1=4a_n+2．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出数列{a_n+1-2a_n}是首项为4，公比为2的等比数列，问题得以证明；
（2）由a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，得到数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，问题得以解决．

解答 解：（1）由S₂=4a₁+2有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=8，
故a₂-2a₁=4，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因此数列{a_n+1-2a_n}是首项为4，公比为2的等比数列．
因为b_n=a_n+1-2a_n，
所以数列{b_n}是等比数列，
（2）由（1）可得a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
于是$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
因此数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+n-1=n，
所以a_n=n•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．