Question

【题目】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．

（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）求证：2DE2=DMAC+DMAB．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BE、OE，则

∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，

又∵D是BC的中点，

∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．

又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．

可得∠OED=∠OBD=90°，

因此，O、B、D、E四点共圆

（2）解：延长DO交圆O于点H，

∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．

可得DE2=DMDH=DM（DO+OH）=DMDO+DMOH．

∵OH= ，OD为△ABC的中位线，得DO= ，

∴ ，化简得2DE2=DMAC+DMAB

【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD= ，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DMDH，再将DH分解为DO+OH，并利用
OH= 和DO= ，化简即可得到等式2DE2=DMAC+DMAB成立．