Question

（2011•重庆三模）过曲线y=

2

x+1

上的一点Q₀（0，2）作曲线的切线，交x轴于点P₁，过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线，交x轴于点P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂，过Q₂作曲线的切线，交x轴于点P₃；…如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，设P_n的横坐标为x_n（n∈N^*）
（I）试用n表示x_n；
（II）证明：

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

＜

11

6

；
（III）证明：

1

xn

＞

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）y′=-

2

(x+1)2

，所以曲线在Qn-1(xn-1，

2

xn-1+1

)处的切线为：y-

2

xn-1+1

=-

2

(xn-1+1)2

(x-xn-1)，由此能求出x_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）当n≥3时，有2ⁿ＞2^n-1+1，所以

1

2n-1

＜

1

2n-1

，则当n≥3时，Sn=1+

1

3

+

n

i=3

1

2i-1

＜

4

3

+

n

i=3

1

2i-1

=

4

3

+

1 4 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

^  由此能证明

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

＜

11

6

．
（Ⅲ）由

1

xn+1

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2xn

，知

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…＜

1

2

(

1

xn

+

1

xn+1

+

1

xn+2

+…)，由此能够证明

1

xn

＞

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…．

解答：解：（Ⅰ）y′=-

2

(x+1)2

，-----------（1分）
所以曲线在Qn-1(xn-1，

2

xn-1+1

)处的切线为：
y-

2

xn-1+1

=-

2

(xn-1+1)2

(x-xn-1)-------------（2分）
设直线和x轴交点横坐标x_n=2x_n-1+1，
即x_n+1=2（x_n-1+1），另可解x₁=1
则x_n+1=2ⁿ，
∴x_n=2ⁿ-1…（4分）
（Ⅱ）当n≥3时，有2ⁿ＞2^n-1+1，
∴

1

2n-1

＜

1

2n-1

----------（5分）
则当n≥3时，
Sn=1+

1

3

+

n

i=3

1

2i-1

＜

4

3

+

n

i=3

1

2i-1

=

4

3

+

1 4 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

^  -------------------------（7分）
另S1=1＜

11

6

，S2=

4

3

＜

11

6

，故Sn＜

11

6

…（8分）
（Ⅲ）∵

1

xn+1

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2xn

，---------------（9分）
∴

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…＜

1

2

(

1

xn

+

1

xn+1

+

1

xn+2

+…)，
即2(

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…)＜

1

xn

+

1

xn+1

+

1

xn+2

+…，
移项得：

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…＜

1

xn

------------------（12分）
∴

1

xn

＞

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，计算量大，综合性质强，比较繁琐．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意计算能力的培养．