Question

将函数y=f′（x）cosx的图象向左平移

π

4

个单位，得到函数y=1-2sin²x的图象，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,导数的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：先将函数y=f′（x）cosx的图象向左平移

π

4

个单位使其等于y=1-2sin²x，然后根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简整理可求得到f′（x+

π

4

）的关系式，再由平移的知识得到f′（x）的解析式，最后根据微积分的知识得到函数f（x）的解析式．

解答： 解：将函数y=f′（x）cosx的图象向左平移

π

4

个单位得到y=1-2sin²x，
又因为f′（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=f′（x+

π

4

）×

2

2

（cosx-sinx）
=1-2sin²x=cos2x=cos²x-sin²x，
∴f′（x+

π

4

）=

2

（cosx+sinx）=2sin（x+

π

4

），
∴f′（x）=2sinx，∴f（x）=-2cosx，
故答案为：-2cosx．

点评：本题主要考查三角函数的平移、二倍角公式、两角和与差的正弦公式和微积分的有关知识，考查综合运用能力，属于基础题．