Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$的图象，依题意，可得4m-m²＜m（m＞0），解之即可．

解答 解：当m＞0时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m-m²＜m（m＞0），
即m²＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m²＜m是难点，属于中档题．