Question

8．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+$\frac{1}{x}$）-|x-$\frac{1}{x}}$|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{1}{2}$x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=$\frac{1}{2}$时，讨论当x≥1时，当0＜x＜1时，去掉绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≥$\frac{1}{2}$x可得a（x²+1）-|x²-1|≥$\frac{1}{2}$x²，讨论当0＜x＜1时，当x≥1时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2x}-\frac{x}{2}，x≥1}\\{\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，f（x）=$\frac{3}{2x}$-$\frac{x}{2}$的导数为f′（x）=-$\frac{3}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$＜0；
当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$的导数为f′（x）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0；
所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≥$\frac{1}{2}$x得a（x+$\frac{1}{x}$）-|x-$\frac{1}{x}$|≥$\frac{1}{2}$x，x＞0，
可得a（x²+1）-|x²-1|≥$\frac{1}{2}$x²，
①当0＜x＜1时，a（x²+1）+（x²-1）≥$\frac{1}{2}$x²，
即有a≥$\frac{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
由$\frac{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{3}{2（1+{x}^{2}）}$-$\frac{1}{2}$∈（$\frac{1}{4}$，1）
可得a≥1；
②当x≥1时，a（x²+1）-（x²-1）≥$\frac{1}{2}$x²，
可得a≥$\frac{\frac{3}{2}{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}$
由$\frac{\frac{3}{2}{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{5}{2（{x}^{2}+1）}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$）
可得a≥$\frac{3}{2}$．
综上所述，a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用：求单调区间，注意运用导数判断单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查运算能力，属于中档题．