Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调，则ω的最大值为9．

Answer 1

分析 先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调，分f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调递增、单调递减两种情况，分别求得ω的最大值，综合可得它的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，
∴ω（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，n∈Z，且ω•$\frac{π}{4}$+φ=n′π+$\frac{π}{2}$，n′∈Z，
∴相减可得ω•$\frac{π}{2}$=（n′-n）π+$\frac{π}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．
∵f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调，
（1）若f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调递增，
则ω•$\frac{π}{18}$+φ≥2kπ-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即-ω•$\frac{π}{18}$-φ≤-2kπ+$\frac{π}{2}$ ①，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z ②，
把①②可得$\frac{3}{36}$ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，-$\frac{11}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
此时f（x）=sin（11x-$\frac{π}{4}$）在（ $\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上不单调，不满足题意．
当ω=9时，-$\frac{9π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，
此时f（x）=sin（9x+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上单调递减，不满足题意；
故此时ω无解．
（2）若f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调递减，
则ω•$\frac{π}{18}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即-ω•$\frac{π}{18}$-φ≤-2kπ-$\frac{π}{2}$ ③，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z ④，
把③④可得$\frac{3}{36}$ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，-$\frac{11}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
此时f（x）=sin（11x-$\frac{π}{4}$）在（ $\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上不单调，不满足题意．
当ω=9时，-$\frac{9π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，
此时f（x）=sin（9x+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上单调递减，满足题意；
故ω的最大值为9．
故答案为：9．

点评 本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．