Question

5．（1）已知tanα=$\frac{1}{3}$，求2sin²α+3sinαcosα+4cos²α的值；
（2）已知a＞0，ω＞0，函数f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$cosωx的最小正周期为π，对于任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{12}$）恒成立，求f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）把2sin²α+3sinαcosα+4cos²α的分母“1”化为sin²α+cos²α，然后分子分母同时除以cos²α，转化为含有正切的代数式求解；
（2）利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由对于任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{12}$）恒成立可得函数的最大值为f（$\frac{π}{12}$），求出a值，得到函数解析式，则f（x）的零点可求．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$2{sin^2}α+3sinαcosα+4{cos^2}α=\frac{{2{{sin}^2}α+3sinαcosα+4{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$
=$\frac{{2{{tan}^2}α+3tanα+4}}{{1+{{tan}^2}α}}$=$\frac{2×（\frac{1}{3}）^{2}+3×\frac{1}{3}+4}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{47}{10}$；
（2）f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$cosωx=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（ωx+φ），
由f（x）的最小正周期为π，得ω=2，
即$f（x）=asin2x+\sqrt{3}cos2x$=$\sqrt{{a}^{2}+3}sin$（2x+φ），
由题意知f（x）最大值为$\sqrt{{a^2}+3}=f（\frac{π}{12}）$，
即$\sqrt{{a^2}+3}=\frac{a}{2}+\frac{3}{2}$，解得a=1，
∴$f（x）=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
由f（x）=0，即$sin（2x+\frac{π}{3}）=0$，得$2x+\frac{π}{3}=kπ$，
即$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的零点为x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$（k∈Z）．

点评 本题考查三角恒等变换中的应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了函数零点的求法，是中档题．