Question

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=6，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$；
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据诱导公式求出sinB，利用正弦定理解出b；
（2）使用两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式计算面积．

解答 解；（1）∵B=A+$\frac{π}{2}$，∴sinB=cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，
解得b=6$\sqrt{2}$．
（2）cosB=cos（A+$\frac{π}{2}$）=-sinA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{3}）+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{1}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×6×6\sqrt{2}×\frac{1}{3}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．