Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列．
（Ⅰ）若向量

m

=（3，sinB）与

n

=（2，sinC）共线，求cosA的值；
（Ⅱ）若ac=8，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的性质,平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：综合题,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用a，b，c依次成等差数列，可得2b=a+c，由向量

m

=（3，sinB）与

n

=（2，sinC）共线，可得2sinB=3sinC，由正弦定理可得2b=3c，所以a=2c，b=

3

2

c，利用余弦定理可求cosA的值；
（Ⅱ）先确定0＜sinB≤

3

2

，再求△ABC的面积S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c依次成等差数列，∴2b=a+c．
∵向量

m

=（3，sinB）与

n

=（2，sinC）共线，
∴2sinB=3sinC，
∴由正弦定理可得2b=3c，∴a=2c，b=

3

2

c，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

4

；
（Ⅱ）∵2b=a+c，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
∵B∈[0，π]，
∴0＜sinB≤

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB≤

1

2

×8×

3

2

=2

3

，
∴△ABC的面积S的最大值为2

3

．

点评：本题考查等差数列的性质，考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．