Question

17．已知等比数列{a_n}，a₃=4，且a₃，a₄+2，a₅成等差数列，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n＜m对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过设等比数列{a_n}的公比为q，利用等差中项计算可知q=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及等比数列的求和公式计算可知T_n=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），进而计算可得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则a₄=4q，a₅=4q²，
∵a₃，a₄+2，a₅成等差数列，
∴2（a₄+2）=a₃+a₅，即2（4q+2）=4+4q²，
整理得：q（q-2）=0，解得：q=2或q=0（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₃q^n-3=2^n-1；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
又∵T_n＜m对任意n∈N^*恒成立，
∴m≥2．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．