Question

8．已知一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形，腰长为1，则该四棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$或$\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{6}$或$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 三视图反映的几何体是四棱锥，一条侧棱垂直底面，画出图形，根据三视图的数据，另一中情况是正四棱锥，画出图形，求出四棱锥的体积．

解答 解：①几何体底面是边长为1的正方形，高是1，其中一条棱与底面垂直的四棱锥，
则它的体积为V=$\frac{1}{3}$×1×1×1=$\frac{1}{3}$．
②由三视图知几何体是一个正四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长为$\sqrt{2}$正方形，
侧视图与正视图都是一个斜边长为$\sqrt{2}$，腰长为1的等腰直角三角形，
∴四棱锥的高是$\sqrt{1-{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴四棱锥的体积是$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：B．

点评 本题是中档题，考查三视图反映几何体的方法，四棱锥的体积的求法，考查作图计算能力，常考题型．