Question

9．若方程ln（k-e^x）+x-1=0有解，求k的最小值2$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 由方程ln（k-e^x）+x-1=0有解，可得k=e^x+e^1-x，对e^x+e^1-x，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：ln（k-e^x）+x-1=0，
即有ln（k-e^x）=1-x，
k-e^x=e^1-x，
即为k=e^x+e^1-x，
由e^x+e^1-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{1-x}}$=2$\sqrt{e}$，
当且仅当e^x=e^1-x，即x=$\frac{1}{2}$时，取得等号．
则方程ln（k-e^x）+x-1=0有解，
k的最小值为2$\sqrt{e}$，
故答案为：2$\sqrt{e}$．

点评 本题考查方程有解的条件，注意运用分离参数法，考查转化思想和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．